Espaces Lp, distributions et transformée de Fourier [4TMA704U]
Aperçu des sections
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DS terminal de 3h ou oral suivant effectif, note DST2. Note finale: Max(CC*0.4+DST2*0.6, DST2)
La responsable du cours est Jasmin Raissy. Le responsable des TD est Laurent Michel.
Contrôle des connaissances
Session 1
Contrôle continu (CC) et DS terminal de 3 h (note DST1) CC*0.4+DST1*0.6
Le contrôle continu consistera d'un DS intermediaire (DSI). Le DSI s'est tenu le 26 octobre 2023 de 10h à 12h.
Le DS terminal de 3h se tiendra lundi 8 janvier à 9h.
Session 2
DS terminal de 3h ou oral suivant effectif, note DST2. Note finale: Max(CC*0.4+DST2*0.6, DST2)
Références
Nous allons utiliser le polycopié écrit par Philippe Jaming. Pour des bases d'intégration et théorie de la mésure, vous pouvez utiliser le polycopié et les exercices qui se trouvent sur Exo7, ainsi que le polycopié écrit par Franck Sueur.
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Ouvert : mercredi 29 novembre 2023, 13:20Terminé : mercredi 29 novembre 2023, 19:50
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Vous trouverez dans cette section la liste des sujets traités pendant chaque séance de cours.
Cours 1 (06/09/2023 13h20--15h20) : informations générales sur le cours, rappels sur les espaces de Banach (normes, suite convergente, suite de Cauchy, exemples, espaces vectoriels sur R ou C de dimension finie, normes équivalentes) rappels sur les espaces de Hilbert (produits scalaires, produits hermitiens, inégalité de Cauchy-Schwarz, Idéntité du Parallélogramme, espace l^2 des suites complexes à carré sommable, orthogonalité, base hilbertienne pour un espace de Hilbert séparable).
Cours 2 (13/09/2023 13h20--15h20) : deux exemples fondamentaux d'espaces de Banach (l'espace des fonctions continues sur un compact avec la norme infini est un espace de Banach, convergence simple, convergence uniforme, caracterisation de la continuité pour des operateurs linéaires entre espaces vectoriels normés, l'espace des operateurs linéaires continues entre deux espaces de Banach muni de la norme subordonnée est un espace de Banach, définition de dual et bidual et d'espace réflexif, Théorème de Riesz, convergence faible) . Rappels d'intégration de Lebesque (notions de tribu et mesure), énoncés des théorèmes fondamentaux de Fubini, de convergence monotone de Beppo Levi et de convergence dominée de Lebesgue.Cours 3 (20/09/2023 13h20--15h20) : Fin des rappels d'intégration (continuité et différentiabilité des intégrales dépendand de paramètres). Définition des espaces L^p comme classes d'équivalences de fonctions et normes. Inégalité de Hölder (avec preuve).Cours 4 (27/09/2023 13h20--15h20) : Inégalité de Jensen (avec preuve), deuxième preuve de l’inégalité de Hölder (en utilisant l'inégalité de Jensen). Inégalité de Minkowski (avec preuve). Inégalité triangulaire pour les normes L^p (avec preuve en utilisant l'inégalité de Minkowski et avec esquisse d'une demonstration directe qui utilise l'inégalité de Hölder).Cours 5 (04/10/2023 13h20--15h20) : complétude des espaces L^p (L^p-convergence dominée, preuve du fait que L^p est complet pour $1\le p<+\infty$, $p=+\infty$ laissé comme exercice), separabilité des espaces $L^p$ (idée de la preuve de la separabilité de $L^1(\mathbb{R})$, preuve du fait que $L^\infty(\mathbb{R})$ n'est pas separable), continuité des translations dans $L^p(\mathbb{R}^d)$ pour $1\le p<+\infty$. Enoncés $L^{p'}\subset (L^p)'$ pour $1\le p\le+\infty$ et $L^{p'}\= (L^p)'$ pour $1\le p<+\infty$ (nous verrons les preuves en cours ou TD la semaine prochaine).Cours 6 (11/10/2023 13h20--15h20) : énoncé du Théorème de projection dans les espaces $L^p$, énoncé du Théorème $L^{p'}\= (L^p)'$ pour $1\le p<+\infty$ (preuve en TD) ; définition du produid de convolution, convolution de l’indicatrice de [0,1] avec elle-même en exemple, preuve que la convolution de deux fonctions continues à support compact est continue à support compact et que si l’une des fonctions est de classe C^k alors le produit de convolution aussi et donné l’expression pour les dérivée ; preuve que la convolution d’une fonction $L^p$ avec une fonction dans $L^p’$ est $L^\infty$ et que si $p\ne 1, +\infty$, alors la convolution est continue et tend vers 0 à l’infini (nous verrons la fin de cette preuve en cours la semaine prochaine).Cours 7 (20/10/2023 14h--16h) : fin de la preuve que la convolution d’une fonction $L^p$ avec une fonction dans $L^p’$ est $L^\infty$ et que si $p\ne 1, +\infty$, alors la convolution est continue et tend vers 0 à l’infini ; théorème d'extension de Banach (avec preuve) et convolution de $L^1$ avec $L^p$ pour $1\le p\le +infty$ ; inégalité de Young (motivation et énoncé sans preuve) ; définition de l'espace des fonctions $C^\infty$ à support compact et de l'espace de Schwartz.Cours 8 (08/11/2023 13h20--15h20) : espace des fonctions $C^\infty$ à support compact, espace de Schwartz, approximations régulières de l'identité et régularisation. Définition de la transformée de Fourier dans $L^1$.Cours 9 (15/11/2023 13h20--15h20) : Transformée de Fourier : théorie dans L^1, propriétés fondamentales, formule de multiplication et théorème d'inversion ; théorie dans l'espace de Schwartz.Cours 10 (20/11/2023 13h20--15h20) : Transformée de Fourier : théorie dans L^2. Distributions : idée générale, définition de distribution et de distribution tempérée, toute distribution tempérée est une distribution d'ordre fini, exemples (distribution associée à une fonction L^1_{loc}, distribution associée à une mesure bornée ou tempérée, masse de Dirac).Cours 11 (30/11/2023 14h--16h) : convergence de distributions (définition et énoncé Théorème de Banach-Steinhaus dans ce cadre), les distributions et les distributions tempérées sont des espaces vectoriels, définition de la translatée d'une distribution, multiplication d'une distribution par une fonction régulière, définition de dérivation d'une distribution, dérivation de la fonction de Heaviside au sens des distributions, énoncé de la formule des sauts, primitive d’une distribution, définition de la transformée de Fourier d'une distribution tempérée. -
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- Espaces de Banach
- Espaces de Hilbert
- Espaces de Fonctions continues
- Opérateurs linéaires bornés
- Compléments sur la convergence
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Attention: des problèmes techniques font que le son des vidéos n'est pas toujours très bon et parfois pas tout à fait synchronisé (doublage
Les photos des tableaux ne sont pas 100% identiques à ceux de la vidéo (ils peuvent provenir d'essais)
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- Intégration de Riemann
- Intégration de Lebesgue
- Théorème de Fubini
- Convergence dominée
- Continuité et dérivabilité des intégrales
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- Définition
- Inégalités de Hölder et de Minkovski
- Complétude des espaces L^p
- Séparabilité
- Continuité des translations
- Théorème de projection
- Dualité
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- Un peu de motivation
- Notation multi-indice
- Le convolution des fonctions continues à support compact (rappel de licence)
- Convolution entre L^p et son dual
- Convolution entre L^1 et lui-même
- Principe d'extension et cas L^1*L^p
- Inégalité de Young
- Régularisation
- Espaces de fonctions régulières (la classe de Schwarz)
- Régularisation par convolution
- Un peu de motivation
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Chapitre 5: Transformée de Fourier
- Théorie L^1
- Inversion de Fourier et transformée de Fourier sur la classe de Schwarz
- Théorie L^2
- Plancherel
- Non surjectivité de Fourier L^1->C_0
- Fourier sur L^p
- Application à l'équation de la chaleur
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Définition et exemples
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Convergence de suites de distributions
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Opérations sur les distributions
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Translation, dilatation, multiplication par une fonction régulière
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Différentiation
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Application aux équations de transport
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Primitive d'une distribution
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Transformée de Fourier
- Support
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Définition du support
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Distributions à support compact
- Dérivation et intégration dans le crochet de dualité
- Dérivation
- Intégration
Convolution
Convolution d'une distribution avec une fonction
Produit et produit de convolution de deux distributions
- Une autre application des distributions aux EDPs
Solution fondamentale
19/11: Quelques coquilles corrigéesSolution fondamentale du laplacien
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