Espaces Lp, distributions et transformée de Fourier [4TMA704U]
Aiheen kuvaus
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Responsable du cours : Philippe Thieullen
Responsable des TD : Laurent Michel
Contrôle des connaissances
Session 1
Contrôle continu : DSI de 2h
examen final : DST1 de 3h
Note = DSI*0.4 + DST1*0.6Session 2
DST2 de 3h ou oral
Note = Max(DSI*0.4 + DST2*0.6, DST2)Références
Nous allons utiliser le polycopié écrit par Philippe Jaming. Pour des bases d'intégration et théorie de la mesure, vous pouvez utiliser le polycopié et les exercices qui se trouvent sur Exo7, ainsi que le polycopié écrit par Franck Sueur.
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Les notes manuscrites de cette année suivent les notes polycopiées de Philippe Jaming des années précédentes.
- Rappels
- Espaces de Banach
- Espaces de Hilbert
- Applications linéaires continues et dual
- Autres notions de convergence
- Espace Lp
- Définitions
- Inégalités de Hölder et Minkowski
- Complétude, séparabilité, compacité
- Dualité
- Convolution
- Définition et propriétés simples
- Convolution Lp * Lq
- Convolution L1 * L1, L1 * Lr
- Inégalité de Young
- Régularisation
- Fourier
- Théorie L1
- Inversion de Fourier dans L1
- Théorie L2
- Compléments
- Distributions
- Définitions et exemples
- Définitions et exemples
- Rappels
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- W. Rudin. Real and Complex Analysis, McGraw-Hill Book Compagny, 1987.
- H. Brezis. Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations. Universitext, Springer, 2011.
- R.A. Adams, J.J.F. Fournier. Sobolev Spaces. Academic Press, 2003.
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Devoir à rendre le 29 novembre
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- Espaces de Banach
- Espaces de Hilbert
- Espaces de Fonctions continues
- Opérateurs linéaires bornés
- Compléments sur la convergence
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- Intégration de Riemann
- Intégration de Lebesgue
- Théorème de Fubini
- Convergence dominée
- Continuité et dérivabilité des intégrales
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- Définition
- Inégalités de Hölder et de Minkovski
- Complétude des espaces L^p
- Séparabilité
- Continuité des translations
- Théorème de projection
- Dualité
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- Un peu de motivation
- Notation multi-indice
- Le convolution des fonctions continues à support compact (rappel de licence)
- Convolution entre L^p et son dual
- Convolution entre L^1 et lui-même
- Principe d'extension et cas L^1*L^p
- Inégalité de Young
- Régularisation
- Espaces de fonctions régulières (la classe de Schwarz)
- Régularisation par convolution
- Un peu de motivation
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- Théorie L^1
- Inversion de Fourier et transformée de Fourier sur la classe de Schwarz
- Théorie L^2
- Plancherel
- Non surjectivité de Fourier L^1->C_0
- Fourier sur L^p
- Application à l'équation de la chaleur
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Définition et exemples
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Convergence de suites de distributions
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Opérations sur les distributions
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Translation, dilatation, multiplication par une fonction régulière
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Différentiation
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Application aux équations de transport
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Primitive d'une distribution
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Transformée de Fourier
- Support
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Définition du support
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Distributions à support compact
- Dérivation et intégration dans le crochet de dualité
- Dérivation
- Intégration
Convolution
Convolution d'une distribution avec une fonction
Produit et produit de convolution de deux distributions
- Une autre application des distributions aux EDPs
Solution fondamentale
19/11: Quelques coquilles corrigéesSolution fondamentale du laplacien
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Attention: des problèmes techniques font que le son des vidéos n'est pas toujours très bon et parfois pas tout à fait synchronisé (doublage
Les photos des tableaux ne sont pas 100% identiques à ceux de la vidéo (ils peuvent provenir d'essais)
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